收益

高风险高收益

“高风险高收益”并不严谨，更准确的表达是：

$$\boxed{ \text{承担更多不可分散风险，通常需要更高的预期收益作为补偿} }$$

风险高并不意味着实际收益一定更高，投资者愿意承担风险，是因为要求获得相应的风险补偿。

历史收益、实际收益与预期收益

历史收益率

历史收益率是过去已经实现的收益：

$$R_1,R_2,\dots,R_n$$

实际收益率

实际收益率（Realized Return）是投资期结束后真正实现的收益率。

预期收益率

投资发生之前，可以根据不同未来状态及其概率计算期望收益：

$$\boxed{ E(R)=\sum_{i=1}^{n}p_iR_i }$$

例如：

则：

$$E(R) = 0.3\times0.40 + 0.5\times0.10 + 0.2\times(-0.30) = 11\%$$

因此：

$$E(R)\neq R_{\text{realized}}$$

预期收益是事前估计，实际收益是事后结果。

风险

风险最基本的含义是：未来投资结果的不确定性。

在现代投资组合理论中，通常使用收益率的方差或标准差描述这种不确定程度。

方差

设期望收益率为：

$$\mu=E(R)$$

则收益率方差：

$$\boxed{ \sigma^2 = E[(R-\mu)^2] }$$

离散情况下：

$$\sigma^2 = \sum_{i=1}^{n} p_i(R_i-E(R))^2$$

方差越大，说明收益结果越分散。

标准差与波动率

标准差为：

$$\boxed{ \sigma=\sqrt{\sigma^2} }$$

在金融中，收益率标准差通常称为波动率（Volatility）。

波动率是重要的风险度量，但并不能代表全部风险，波动率只是风险的一种量化方式

主要风险类型

市场风险

整个市场变化带来的风险，例如经济周期、利率变化、金融危机和风险偏好变化。

信用风险

债务人无法按合同履行本金或利息支付义务的风险。

信用风险上升时，投资者通常会要求更高的收益率才愿意投资。

利率风险

市场利率变化引起资产价格变化的风险。

对于固定收益资产：

$$P = \sum_t \frac{CF_t}{(1+y)^t}$$

一般有：

$$y\uparrow \Rightarrow P\downarrow$$

即债券价格通常与市场收益率反向变化。

流动性风险

流动性表示资产能否在合理时间内，以合理成本转换为现金。

$$\boxed{ Liquidity = \text{以合理成本迅速变现资产的能力} }$$

经营风险

企业经营活动存在的不确定性，例如需求、竞争、成本、技术和管理变化。最终会影响未来预期现金流。

估值风险

企业经营状况良好，并不意味着任何价格都值得买入。

例如：

$$P=EPS\times PE$$

即使：

$$EPS\uparrow$$

如果：

$$PE\downarrow$$

股价仍可能下降。

杠杆风险

杠杆率可以表示为：

$$L=\frac{A}{E}$$

其中：

• $A$：控制的资产规模；
• $E$：自身权益。

杠杆会同时放大盈利和亏损，本质上是放大风险暴露。

尾部风险

尾部风险（Tail Risk）指发生概率较低，但一旦发生可能导致重大损失的风险。

例如破产、流动性冻结和高杠杆强制平仓。

下行风险与最大回撤

相比普通价格波动，投资者通常更关注实际损失。

最大回撤

设资产价值为：

$$V_t$$

截至时点 $t$ 的历史最高值：

$$M_t=\max_{s\leq t}V_s$$

则最大回撤：

$$\boxed{ MDD = \max_t \left( \frac{M_t-V_t}{M_t} \right) }$$

最大回撤反映资产历史上从高点到随后低点的最大损失。

第一章已经得到：

$$G=\frac{L}{1-L}$$

其中 $L$ 为亏损比例，$G$ 为回本所需收益率。

因此严重回撤会显著破坏长期复利过程。

多资产风险

单个资产的风险可以通过波动率描述，但投资组合风险还取决于资产之间是否共同变化。

这需要协方差和相关系数。

协方差

两个资产 A、B 的协方差：

$$\boxed{ Cov(R_A,R_B) = E[(R_A-E(R_A))(R_B-E(R_B))] }$$

其中：

$$Cov>0$$

表示两者倾向于同向变化；

$$Cov<0$$

表示两者倾向于反向变化；

$$Cov\approx0$$

表示线性相关性较弱。

相关系数

为了消除不同资产波动率大小的影响，定义：

$$\boxed{ \rho_{AB} = \frac{Cov(R_A,R_B)} {\sigma_A\sigma_B} }$$

满足：

$$-1\leq\rho_{AB}\leq1$$

其中：

• $\rho=1$：完全正相关；
• $\rho=0$：无线性相关；
• $\rho=-1$：完全负相关。

相关性越低，通常越有利于分散组合风险。

投资组合预期收益

对于两个资产：

$$w_A+w_B=1$$

组合收益：

$$R_p=w_AR_A+w_BR_B$$

因此：

$$\boxed{ E(R_p) = w_AE(R_A)+w_BE(R_B) }$$

一般情况下：

$$\boxed{ E(R_p)=\sum_iw_iE(R_i) }$$

组合预期收益是各资产预期收益的加权平均。

投资组合风险

两资产组合方差：

$$\boxed{ \sigma_p^2 = w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2w_Aw_B\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B }$$

因此：

$$\boxed{ \text{组合收益可以线性加权，但组合风险不能简单线性相加} }$$

资产间相关性是决定分散化效果的重要因素。

分散投资

所以分散投资并不是简单增加证券数量，而是降低不同资产之间共同的风险来源。

非系统性风险

只影响特定企业、行业或资产的风险称为非系统性风险（Idiosyncratic Risk）。

例如：

• 企业管理问题；
• 产品失败；
• 特定公司经营事故。

随着投资组合可以充分分散非系统性风险。

系统性风险

影响整个市场或大量资产的风险称为系统性风险（Systematic Risk）。

例如：

• 经济衰退；
• 利率大幅变化；
• 金融危机；
• 整体风险偏好变化。

因此可以粗略写为：

$$\boxed{ \text{总风险} = \text{系统性风险} + \text{非系统性风险} }$$

系统性风险无法仅靠增加证券数量消除。

风险补偿

为什么市场不会补偿所有风险

如果非系统性风险可以通过分散投资降低。既然投资者可以主动消除这部分风险，市场通常不会为承担这种风险持续提供额外收益。

因此现代资产定价理论强调市场主要补偿不可分散的系统性风险。

无风险收益率

记无风险收益率为：

$$R_f$$

理论上的无风险资产应具有高度确定的未来现金流和极低的违约风险。

因此 $R_f$ 可以理解为：

$$\boxed{ \text{资金在几乎不承担风险情况下的基础时间收益} }$$

风险溢价

风险资产的预期收益与无风险收益之间的差额称为风险溢价：

$$\boxed{ Risk\ Premium = E(R)-R_f }$$

因此：

$$\boxed{ E(R) = R_f + Risk\ Premium }$$

风险溢价可以理解为投资者承担风险所要求的额外收益补偿。

风险、收益与价格

前面已经知道资产价格：

$$P_0 = \sum_t \frac{E(CF_t)}{(1+r)^t}$$

要求收益率可以表示为：

$$r = R_f + Risk\ Premium$$

因此：

$$P_0 = \sum_t \frac{E(CF_t)} {(1+R_f+Risk\ Premium)^t}$$

在预期现金流不变时：

$$Risk\uparrow$$

通常意味着：

$$Risk\ Premium\uparrow$$

从而：

$$r\uparrow$$

最终：

$$P_0\downarrow$$

即：

$$\boxed{ Risk\uparrow \Rightarrow Risk\ Premium\uparrow \Rightarrow r\uparrow \Rightarrow P\downarrow }$$

所以高风险资产较高的预期收益并不是由风险本身创造，而是因为投资者要求更低的当前价格作为风险补偿。

风险暴露与仓位

资产本身的风险并不等于投资组合实际承担的风险。

设组合总价值为：

$$V$$

风险资产价值为：

$$V_R$$

则风险资产仓位：

$$\boxed{ w_R=\frac{V_R}{V} }$$

因此：

$$\boxed{ \text{组合风险取决于资产风险与持仓规模} }$$

净头寸

如果组合同时具有多头和空头风险暴露，可以粗略表示为：

$$\boxed{ Net\ Exposure = Long\ Exposure - Short\ Exposure }$$

净头寸表示多空风险抵消之后剩余的方向性风险暴露。

与之对应，总风险暴露通常称为：

$$Gross\ Exposure$$

因此组合分析既需要关注总头寸，也需要关注净头寸。

对冲

对冲（Hedge）的核心是利用不同资产或头寸之间的风险关系，降低组合整体风险。

如果：

$$Cov(R_A,R_H)<0$$

那么加入对冲资产 $H$ 后，组合波动率可能下降。

因此对冲的主要目标不是提高收益，而是降低或重新分配风险暴露。

风险调整后收益

仅比较收益率并不能判断投资策略优劣，还需要同时考虑承担的风险。

风险调整后收益（Risk-adjusted Return）就是评价“承担一定风险后获得了多少收益”。

最常见指标之一是夏普比率：

$$\boxed{ Sharpe = \frac{E(R_p)-R_f}{\sigma_p} }$$

表示每承担一单位总波动风险所获得的超额收益。