什么是投资

从时间维度看，投资可以理解为：

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可以说”所有的事情都是为了金钱的，除了金钱本身；金钱本身是为了自由”。

从资产配置的角度看，个人面对的金融工具大致可以按照以下层次理解：

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不同工具承担不同功能。当然投资组合也不是一次建立后永久不变，而应当随着年龄、收入、风险承受能力和投资目标的变化持续调整。

更抽象地说：投资是一种跨期资源配置行为。

一个人的收入可以大致分为两个去向：消费和储蓄。如果储蓄进一步转化为能够产生未来收益的资产，那么这部分储蓄就成为了投资。

因此投资意味着放弃一部分当前消费，以换取未来更大的消费能力。

1. 终值

假设今天投资 $PV$，每期收益率为 $r$，投资 $n$ 期，则未来价值为：

$$FV=PV(1+r)^n$$

其中：

• $PV$：Present Value，现值
• $FV$：Future Value，终值
• $r$：每期收益率
• $n$：投资期数

得到的利息也会继续产生利息，这就是复利（Compound Interest）。

2. 为什么复利重要

如果采用单利：

$$FV=PV(1+nr)$$

财富随时间线性增长。

而采用复利，财富随时间指数增长。

我们都知道，在长时间尺度下，指数函数往往会超越线性函数，尤其是在起始资金相同的情况下。

连续复利

如果把复利周期不断缩短：

$$FV = PV\left(1+\frac{r}{m}\right)^{mt}$$

当一年中的复利次数 $m\to\infty$：

$$\lim_{m\to\infty} \left(1+\frac{r}{m}\right)^{mt} =e^{rt}$$

得到连续复利公式：

$$\boxed{FV=PV e^{rt}}$$

3. 现值

由于利率、通货膨胀以及未来的不确定性，未来现金流不能直接与今天的钱等价比较，因此需要进行折现（Discounting）。

如果一年后能够获得现金流 $CF_1$，要求收益率为 $r$：

$$PV=\frac{CF_1}{1+r}$$

如果第 $t$ 年获得现金流 $CF_t$：

$$PV_t=\frac{CF_t}{(1+r)^t}$$

如果一项资产在未来不断产生现金流：

$$\boxed{ P_0= \sum_{t=1}^{T} \frac{E(CF_t)}{(1+r)^t} }$$

其中：

• $P_0$：今天的资产价格
• $CF_t$：第 $t$ 期现金流
• $E(CF_t)$：第 $t$ 期预期现金流
• $r$：要求收益率或贴现率
• $T$：资产产生现金流的期限

投资收益从哪里来

4. 单期投资收益率

假设：买入价格为 $P_0$，期末价格为 $P_1$，持有期间获得现金流 $CF$；

那么单期持有收益率为：

$$R= \frac{P_1-P_0+CF}{P_0} = \frac{P_1-P_0}{P_0} + \frac{CF}{P_0}$$

因此：

$$\boxed{ \text{总收益} = \text{资本利得} + \text{现金收益} }$$

第一项来自价格变化，第二项来自资产本身产生的现金流。

5. 价格上涨本身是不是财富创造？

假设你以 100 元买入一只股票，后来另一个投资者愿意以 120 元买入。从你的个人账户来看，你确实获得了 20% 的收益。

但是为什么另一个人愿意支付 120 元？

长期来看，资产价格不可能无限依赖未来还有人愿意用更高的价格买走它，资产价格最终仍然受到未来现金流约束：

$$P_0= \sum_t \frac{E(CF_t)}{(1+r)^t}$$

因此，长期投资收益可以进一步理解为：

$$\boxed{ \text{收益} \approx \text{现金分配} + \text{基本面增长} + \text{估值变化} }$$

例如股票价格可以粗略写成：

$$P=EPS\times PE$$

其中：

• $EPS$：每股收益
• $PE$：市盈率

于是股价上涨可能来自$EPS\uparrow$，即企业盈利能力增强；也可能来自$PE\uparrow$，即市场愿意给予企业更高的估值。

两者都会导致价格上涨，但经济含义完全不同。前者意味着企业创造利润的能力增强，属于基本面增长；后者意味着投资者愿意为相同利润支付更高价格，属于估值扩张。

名义收益率与实际收益率

6. 通货膨胀与购买力

假设名义收益率为$r_n$，实际收益率为$r_r$，通货膨胀率为$\pi$，其严格关系由 Fisher Equation 给出：

$$1+r_n=(1+r_r)(1+\pi)$$

因此：

$$\boxed{ r_r= \frac{1+r_n}{1+\pi}-1 }$$

当收益率和通胀率都较小时，可以近似：

$$\boxed{ r_r\approx r_n-\pi }$$

因此长期投资真正重要的是，实际购买力增长，而不仅仅是账户上的名义数字增长。

收益率

7. 简单收益率与对数收益率

普通收益率为：

$$R_t= \frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}$$

金融研究中还经常使用对数收益率（Log Return）：

$$r_t= \ln\frac{P_t}{P_{t-1}}$$

由于：

$$\frac{P_t}{P_{t-1}}=1+R_t$$

所以：

$$\boxed{ r_t=\ln(1+R_t) }$$

当 $R_t$ 较小时，有：

$$r_t\approx R_t$$

8. 为什么用对数收益率

对数收益率的一个重要性质是：时间可加性。

假设：

$$r_1=\ln\frac{P_1}{P_0}$$ $$r_2=\ln\frac{P_2}{P_1}$$

那么：

$$r_1+r_2 = \ln\frac{P_1}{P_0} + \ln\frac{P_2}{P_1}$$

利用：

$$\ln a+\ln b=\ln(ab)$$

得到：

$$r_1+r_2 = \ln\frac{P_2}{P_0}$$

因此：

$$\boxed{ r_{0,T}=r_1+r_2+\cdots+r_T }$$

这使得对数收益率在金融时间序列分析中非常方便。

算术平均收益率与几何平均收益率

9. 为什么不用平均收益率

假设一项资产：

第一年$+50\%$，第二年$-50\%$，算术平均收益率$0$。

但如果初始财富为 100：

$$100\rightarrow150\rightarrow75$$

最终财富只有$75$，也就是说实际亏损$25\%$。

因此长期财富增长应该使用几何平均收益率：

$$\boxed{ R_g= \left[ \prod_{t=1}^{n}(1+R_t) \right]^{1/n}-1 }$$

对于上述例子：

$$R_g= \sqrt{1.5\times0.5}-1 \approx-13.40\%$$

为什么亏损以后回本越来越困难

10. 收益率的不对称性

假设初始本金为$V_0$，亏损比例为 $L$。亏损后：

$$V_1=V_0(1-L)$$

如果想重新回到 $V_0$，需要获得收益率 $G$：

$$V_0(1-L)(1+G)=V_0$$

因此：

$$\boxed{ G=\frac{L}{1-L} }$$

例如亏损 50%，需要上涨 100% 才能回本。

财富增长

11. 财富是乘法过程

假设每年的收益率依次为：

$$R_1,R_2,\ldots,R_n$$

初始财富为 $W_0$。

$n$ 年后的财富为：

$$\boxed{ W_n= W_0 \prod_{t=1}^{n}(1+R_t) }$$

财富增长不是每年收益率简单相加，而是收益率连续相乘。

波动本身会损害长期复利，这种现象通常称为：

Volatility Drag（波动拖累）

对于长期投资者而言，仅仅追求更高的平均收益率并不充分，还必须考虑收益率的波动以及大幅回撤。